FAC - Aula 2: Diagrama de Venn e Operações

Conteúdo

1. Conjunto Universo

• Definição

2. Diagrama de Venn

• Característica
• Referência histórica
• Representação visual

3. Operações e Propriedades

• União
• Interseção
• Diferença
• Complemento

4. Identidades básicas

• Comutatividade
• Associatividade
• Distributividade
• Leis de Morgan

5. Questões de AD´s e AP´s do Cederj

6. Bibliografia

1. Conjunto Universo

Na relação entre o todo e as partes, definimos o conjunto universo, os subconjuntos e o conjunto complemento. Esses conjuntos vão estar constituído conforme o que estiver sendo considerado como o todo.

Quando pensamos no todo estamos falando de universo. Mas o universo é tão amplo que, para nos situarmos melhor, nos escolhemos a considerar pequenas porções do universo real como o nosso todo. Assim, estabelecemos o conjunto universo, os subconjuntos e o conjunto complemento.

Por exemplo, se o conjunto das frutas for considerado como todo, então podemos afirmar que o conjunto das frutas é no caso nosso conjunto universo:

{ frutas } = U

Também podemos afirmar que o conjunto das maçãs é um subconjunto do nosso conjunto universo, pois:

{ maçãs } { frutas }

Notação: A = { x U | P (x) }

Lê-se: "O conjunto A está constituído pelos elementos x pertencentes ao conjunto universo ( U ), tal que verfica P(x)."

Definição: O conjunto universo é denotado por U e, nos diagramas, será representado por um retângulo. O conjunto universo contém todos os conjuntos que são considerados em um deterninado contexto.

2. Diagrama de Venn Característica

Como foi dito na definição de conjunto universo e acrescentando. A representação é dada por um retângulo e os subconjuntos pertencentes por regiões circulares dentro do retângulo, como veremos na ilustração 1.

Ilustração 1: Modelo de representação de Diagrama de Venn

Notação: A notação deve ser dada da seguinte forma B U

Referência histórica

Diagrama de Venn-Euler é em homenagem ao matemático inglês John Venn-Euler ( Século XIX ) e lê-se "Ven-óiler".

Representação Visual

Para entendermos melhor a representação visual segue um exemplo;

U =

A = { x | 20 x 150 }

{ x 20 e x 150}

B = { x | 50 x 100 }

{ x 50 e x 100 }

Na ilustração 2 abaixo temos a representação gráfica desse exemplo.

Ilustração 2: Modelo de representação de 2 conjuntos no Diagrama de Venn

Notação: Neste caso a notação deve ser dada da seguinte forma B A U

3. Operações e Propriedades

União

Denominamos união ou reunião de dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B.

A união de A e B é representada por A ∪ B.

A ∪ B = { x | x A ou x B }

Ilustração 3: Representação da união do conjunto A e B

Aplicando temos os seguintes exemplos;

Exemplo 1:

A = { 2, 3, 4, 5, 8 }
B = { 1, 2, 3, 6, 7 }
A ∪ B = ?

Ilustração 4: Representação da união do conjunto A e B do exemplo 1

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Desse fato tiramos a seguinte propriedade

A A ∪ B e B A ∪ B

Exemplo 2:

X = { g, t, u }
Y = { x, y }
X ∪ Y = ?

Ilustração 5: Representação da união do conjunto X e Y do exemplo 2

Notação : X ∪ Y = { } ou

Exemplo 3:

U = conjunto das pessoas
Z = { x U | altura de x 1,80 }
W = { x U | altura de x 1,60 }
( W Z )
Z ∪ W = ?

Ilustração 6: Representação da união do conjunto Z e W do exemplo 3

Notação: Z ∪ W = Z

Desse fato tiramos a seguinte propriedade



Observação: Seja W U, temos:

A U A = A

A U = A

Interseção

Chamamos interseção de dois conjunto A e B quaiquer, o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.

É representada por A B

Exemplo 1:

A = { 2, 3, 4, 5, 8 }
B = { 1, 2, 3, 6, 7 }
A B = ?

Ilustração 7: Representação da interseção do conjunto A e B do exemplo 1

A B = { 2, 3 }

Desse fato tiramos a seguinte propriedade

A B A e A B B

Exemplo 2:

X = { g, t, u }
Y = { x, y }
X Y = ?

Ilustração 8: Representação da interseção do conjunto X e Y do exemplo 2

Notação: X Y = { } ou

Diferença

Chamamos diferença A - B de dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos que peretencem a A e não peretence a B.

É representado por A - B

A - B = { x | x A e x B }

B - A = { x | x B e x A }

Aplicando temos os seguintes exemplos;

Exemplo 1:

A = { 2, 3, 4, 5, 8 }
B = { 1, 2, 3, 6, 7 }
A - B = ?

Ilustração 9: Representação da diferença do conjunto A e B do exemplo 1

A - B = { 4, 5, 8 }

Exemplo 2:

A = { 2, 3, 4, 5, 8 }
B = { 1, 2, 3, 6, 7 }
B - A = ?

Ilustração 10: Representação da diferença do conjunto B e A do exemplo 2

B - A = { 1, 6, 7 }

Desses dois exemplos tiramos a seguinte propriedade

A - B A e B - A B

Exemplo 3:

X - Y = ? e Y - X = ?

Ilustração 11: Representação da diferença do conjunto X - Y e Y - X do exemplo 3

Resposta: X - Y = X e Y - X = Y

Exemplo 4:

U = conjunto das pessoas
Z = { x U | altura de x 1,80 }
W = { x U | altura de x 1,60 }
( W Z )
Z - W = ?

Ilustração 12: Representação da diferença do conjunto Z e W do exemplo 4

Z - W = Z

Desse fato tiramos a seguinte propriedade W Z W - Z =

Observação: Seja W Z, temos:

W - Z =

W - = W

Complemento

Chamamos de complemento de A o conjunto formado por todos os elementos de U que não está em A.

Denotamos por = U - A

Ilustração 13: Representação do complemento do cojunto A

Exemplo 1:

U = ( conjunto dos números naturais )
A = { x | x 40 }

= - A = { x | x > 40 }

Exemplo 2:

U =
A = { x | x > 3 } = { 4, 5, 6, ... }

= { x | x < style="color: rgb(51, 51, 51);">Exemplo 3:

U =
A = { x | x > 3 } = { 4, 5, 6, ... }

= { x | x 3 } = { 1, 2, 3 }

Observações:

A - B = A

B - A = B

A ∪ = U

A =

= pois, ( = U - U )

= U pois, ( = U - )

4. Identidades básicas

.: Comutatividade

1. A U B = B U A

2. A B = B A

.: Associatividade

3. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) = A U B U C

4. ( A B ) C = A ( B C ) = A B C

.: Distributividade

5. A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C)





6. A ( B U C ) = ( A B ) U ( A C )





.: Leis de Morgan

7. =

= U - ( A U B )





8. = U
= U - ( A B )





Prova formal da identidade 5:

• A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C)

ou seja,

(1) A U ( B C ) ( A U B ) ( A U C)

(1) ( A U B ) ( A U C) A U ( B C )

• Prova de (1):

Dado x A U ( B C ), mostraremos que
x ( A U B ) ( A U C):

x A U ( B C )

5 . Questões de AD´s e AP´s do Cederj

1) (Cederj 2006/1 - AD01) - Mostre a seguinte igualdade usando as propriedades de conjuntos. (Observação: não verifique por diagrama de Venn).

( A - B ) U ( B - A ) = ( A U B ) - ( A B )



2) (Cederj 2007/1 - AD01) - Mostre, sem usar diagrama de Venn e justificando cada passo, que

A - ( ) = A



3) (Cederj 2007/2 - AD01) - Represente por meio de Diagrama de Venn a seguinte igualdade:

A U ( B - C ) = ( A U B ) - ( C - A )

(Observação: Faça um diagrama para cada membro da igualdade e explicite no mesmo, cada operação realizada.)

Resposta:



4) (Cederj 2007/2 - AD01) - Mostre a igualdade do exércicio ( 3 ) usando as propriedades distribuitiva, de complemento e da diferença.

Resposta:



Poderíamos adotar outro raciocínio sem usar as leis de Morgan. Seria necessário demonstrar que A U = . De fato, seja U o universo temos:



6. Bibliografia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn