FAC - Aula 01: Conceitos básicos

Módulo 1: Conjuntos

Aula 01: Conceito básicos

Revisão: 28/fev/08 20:02

1. Introdução
2. Noção Intuitiva
3. Relação de Pertinência
4. Definição
5. Descrição
6. Formalização
7. Conjunto vazio
8. Relação entre conjuntos
9. Conjuntos de partes
10. Questões de AD´s e AP´s do Cederj
11. Bibliografia

1. Introdução

A pergunta que podemos fazer sobre o estudo de conjunto é: “No que utilizamos esse tipo de estudo, ou seja para que serve na área de computação ?”

Podemos argumentar da seguinte forma, o homem vem classificando os seres, os fatos sociais e propriedades da natureza em vários conjuntos, com critérios científicos e culturais.

Ao estudar, por exemplo, os seres vivos (que já formam um conjunto), estabeleceu os conjuntos dos peixes, das aves, dos répteis, dos anfíbios e dos mamíferos. Ao estudar os movimentos, classificou o movimento uniforme, o movimento uniformemente variado, o movimento circular uniforme, etc.. Ao estudar os elementos químicos, classificou os mentais, os semimetais, os não-metais. Ao estudar as relações sociais, classificou as classe média, o proletariado, etc. Ao estudar a linguagem, classificou as palavras em substantivos, verbos, adjentivos, etc.

Assim entrando no campo da Matemática, onde a disciplina de Fundamento de Algoritmo é ramo, temos os conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos reais, etc. Ou seja o estudo do tema conjunto como também a computação abrange várias áreas do conhecimento humano.

Criar um conjunto é classificar. E, para classificar, necessitamos reunir coisas que apresentam qualidade comuns.

Então você pode perguntar: “E que qualidades são essas ?”. Bem, isso depende do que você queira. Se você pensar, por exemplo, em todas as coisas de que você gosta.

Pronto, formou um conjunto. No mesmo instante, você deixou de fora todas as coisas de que você não gosta, e que também bem constituí outro conjunto.

Usando a imaginação podemos formar novos conjuntos nas coisas de que você gosta e que ...

a) ... servem para beber.

b) ... servem para comer e que são salgadas.

c) ... servem para acabar com a fome, que são doces, que são frutas e que são de plásticos.

Em todos esses itens você criou conjuntos. Até no item c, só que, neste caso, seu conjunto não tem elementos. É um conjunto vazio, pois não existem coisas que servem para acabar com a fome e que sejam de plástico.

Veja a seguinte pergunta : “O elefante é um elemento de que conjunto ?”

As respostas a ela podem ser várias:

a) ... do conjunto do único animal do qual eu gosto.

b) ... do conjunto dos bichos que eu acho mais pesado.

c) ... do conjunto dos animais que bebem água.

d) ... do conjunto dos animais em extinção.

c) ... do conjunto dos vertebrados.

Assim, observamos que é a relação que estabelecemos que cria os elementos que constituem o conjunto.

2. Noção Intuitiva

Como o próprio nome de conjunto indica, conjunto dá uma idéia de coleção. Assim, toda coleção de objetos, pessoas, animais ou coisas constitui um conjunto, conforme critérios de quem esteja elaborando tal conjunto.

3. Notação

Os conjuntos são denotados por letras maiúculas A, B, C, ....

Para os elementos utilizamos as letras minúsculas a, b, c, ....

Na descrição de um conjunto utilizamos o caracter denominado chaves { para indicar o início da descrição de um conjunto e o seu inverso } no final da descrição de um conjunto.

Abaixo temos um exemplo de como fica a notação:

B = { a, b, c, }

4. Relação de Pertinência

A relação de pertinência é indicada pelos simbolos (pertence) e (não pertence).
Serve para denominar quando um elemento pertence e quando não pertence a um determinado conjunto.

Por exemplo:

O peixe pintado pertence ao conjunto de peixes de água doce.
Considerando D = peixes de água doce.
Peixe pintado D.
A sardinha não pertence ao conjunto de peixes de água doce.

Logo,

Peixa sardinha D.

5. Definição

O conceito de conjunto podem também ser chamado de conceito primitivo, pois parte do princípio de que todos entemos o que quer dizer por exemplo: “A letra a é um elemento do conjunto das vogais”, ou seja parte da condição de que um conjunto é uma coleção bem definida de objetos, chamados elementos. Logo, sempre podemos decidir quando um objeto está ou não no conjunto.

6. Descrição

Representação Explícita/Extensão

Um conjunto pode ser descrito por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Nesse caso, dizemos que o conjunto está representado por extensão ou explicito.

Por exemplo:

Conjunto das letras da palavra cederj:

{ c, e, d, e, r, j }

Observações a serem feitas:

Quando um elemento se repete num conjunto A e não no conjunto B, não significa que ambos não são iguais, pois são.

A ordem dos elementos não altera os conjuntos. Ou seja, {a, b, c } é igual { b, a, c }.

Na representação de conjunto numéricos é melhor separar os elementos por ponto-e-vírgula. Assim, evita o risco de confudir o conjunto cujos elementos são 2 e 3,4 isto é, {2 ; 3,4} com o conjunto formado pelos números dois, três e quatro, isto é { 2 ; 3 ; 4 }.

Representação Implícita/Compreensão

O conjunto é criado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos.

{ x x possui a propriedade }

Lê-se: “Conjunto dos elementos “x tal que x possui a propriedade fi”.

Essa propriedade fi é qualquer tipo de enunciado que se pode realizar a respeito dos elementos do conjunto, de modo que esses elementos fiquem completamente caracterizados. Isto é, a partir da propriedade fi deve ser possível checar se um dado elemento pertence ou não ao conjunto.

Exemplo:

a) A = { x x e x }

b) B = { x x é vogal }

7. Formalização

Temos por exemplo hipotético o conjunto A está constituído por elementos (pessoas), tal que a altura de x é maior que 1,80 metros.

A = { x x altura de x > 1,80 metros }

Propriedade que caracteriza os elementos do conjunto A:

P(x) : a altura de x é maior que 1,80 metros.

A = { x P(x) }

Lê-se: “A está constituído pelos elementos x tal que verifica P(x)”.

Representação de conjuntos conhecidos

Podemos representar os conjuntos bastante conhecidos nossos denominados por (Naturais) (Inteiros) (Racionais ) e Reais conforme a ilustração 1 abaixo.

Ilustração 1: Conjunto númericos conhecidos

Ou também através das notações:

= { 1, 2, 3, 4, .....}

= { ...., -2, -1, 0, 1, 2, ....}

= { x x = p/q, p, q , q 0 }

= { - 2; 0.333...; 7; 33 }

8. Conjunto vazio

Existe um conjunto especial que não possue elementos. Esse conjunto é representado pelo conjunto vazio, cujos símbolos são: ou { }.

Podemos também representar um conjunto vazio dessa forma:

= { x x , x > 10 e x < , consequentemente esse conjunto é vazio.

9. Relação entre conjuntos

Definição de igualdade; quando dois conjuntos possuem os mesmos elementos, chamamos eles de iguais.

Vejamos, por exemplo, os conjuntos, C, M, O e P:

C = { 2, 3, b }

M = { b, 2, 3 }

O = { b, 3, 2, b, 3 }

P = { 2, 3, b, a }

Os conjuntos C e M são iguais, ou seja C = M. A ordem em que os elementos aparecem não altera o conjunto. Isso é chamado de conservação dos conjuntos, já P é diferente de C, M e O, pois temos um elemento a mais em P, o "a". E o conjunto O é igual a C e M, mesmo com repetição de elementos isso não significa diferença, logo aplica-se o princípio de conservação dos conjuntos também nesse caso.

Notação: C = M = O

Definição de inclusão; Se A e B são conjuntos e todo o elemento x que pertence a A, pertence também ao conjunto B, então o conjunto A é chamado de um subconjunto do conjunto B, definimos então dessa forma A B.

Então temos o exemplo 1;

= { 1, 2, 3, 4 ... }
F = { 3, 6, 9 .... }
T = { 0, 1, 2, 3, 4 ... }

F está contido em , F , mas T não está contido totalmente em , T .

Notação: F e T

Vamos para o exemplo 2;

A = { 1, 4, b }
B = { 4, b, 1 }

A B e B A

Conclusão: A = B A B e B A

O símbolo é chamado de equivalente.

Observação a ser feita nesse caso:

• A esta contido em B
• A é um subconjunto de B
• B contém A (então representamos dessa forma também B A ).

Notação: B A

Definição de inclusão estrita:

A B e A B

Notação: A B (A está contindo estritamente em B, ou seja em outras palavras existe um ou mais elementos de A, que não pertencem a B).

Exemplo:

N = { 1, 2, 3, 4, .....}

H = { 3, 6, 9, .....}

H N, mas 1 e 2 N e H, logo N H

Conclusão : H

Observação:

Todo conjunto: A

Todo conjunto: A : A

10. Conjuntos de partes

Chama-se conjunto das partes de um conjunto, podendo ser denominado por G, ou outra letra qualquer, o conjunto formado por todos os subconjuntos de G.

Se G = { 1; 2; 3 }, então

P (G) = { , { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1; 2 }, { 1; 3 }, { 2; 3 }, { 1; 2; 3}}

• { 1 } P (G) pois { 1 } { 1, 2, 3 }
• 1 P (G)
• {{ 1 }, { 1, 2, 3 }} P (G)
• {{ 1 }} P (G)
• P (G)

11. Questões de AP´s e AD´s do Cederj

1) (Cederj 2005/2 – AD01) – Verifique se cada uma das afirmações abaixo é falsa ou verdadeira. Se for falsa, faça a devida modificação de modo a torná-la verdadeira.

(a) { 0, a } { { 0 }, , { 0, a }, { 0, a, 1 } }

Resposta: A afirmação é falsa.

Seja A = { { 0 }, , { 0, a }, { 0, a, 1 } }

A afirmativa é falsa porque { 0, a } é um elemento do conjunto A e, usamos o símbolo está contido ( ) para relacionar conjuntos .

Dizemos que um conjunto A está contido em um conjunto B se todo elemento de A é elemento de B ( A B ).

As afirmações corretas são:

{ 0, a } { { 0 }, , { 0, a }, { 0, a, 1 } } ou { { 0, a } } { { 0 }, , { 0, a }, { 0, a, 1 } }

(b) { , d, e, {a} }

Resposta: A afirmação é verdadeira, pois é um elemento do conjunto { , d, e, {a} }.

2) (Cederj 2006/1 – AD01) – Verifique se cada uma das afirmações abaixo é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, prove, se for falsa justifique .

(a) { } { { }, 1}

Resposta: A afirmativa é falsa porque { } é um elemento do conjunto A = {{ } , 1} e, usamos o símbolo está contido ( ) para relacionar conjuntos .

Dizemos que um conjunto A está contido em um conjunto B se todo elemento de A é elemento de B ( A B ).

As afirmações corretas são:
{ } { { }, 1} ou {{ }} { { }, 1}

(b) { 1, 0, - 1}

Resposta: A afirmação é verdadeira, pois é um conjunto e, para todo conjunto A, temos que o conjunto vazio, , está contido em A, isto é, A.

3) (Cederj 2006/2 – AD01) – Verique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira. Se for falsa, justique e faça a devida modicação de modo a torná-la verdadeira. Caso seja verdadeira, justifique.

(a) { } { { }, 2, }

Resposta: A afirmativa é verdadeira, { } é um elemento do conjunto A = { { }, 2, } e, usamos o símbolo pertence ( ) para relacionar elementos de conjuntos.

(b) { 1, 2 } {{ 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Resposta: A arfimação é falsa, pois se um conjunto A B, temos que todo elemento de A deve pertencer ao conjunto B, no entanto 1 e 2 (os elementos de { 1, 2 }) não são elementos de B.

As afirmações corretas são:

{ 1, 2 } {{ 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} ou { { 1 }, { 2 } } {{ 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

4) (Cederj 2006/2 – AP01) – Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira . Se for falsa, justifique e faça a devida modificação de modo a torná-la verdadeira . Caso seja verdadeira, justifique.

(a) { } { , 2, -3, 5 }

Resposta: A afirmativa é verdadeira porque é o único elemento do conjunto { } e é um elemento do conjunto A = { , 2, -3, 5 }, usamos o síimbolo está contido contido ( ) para estudarmos a relação entre conjuntos.

5) (Cederj 2007/1 – AP01) – Verifique se cada uma das afirmações abaixo é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, prove, se for falsa justique.

(a) { } { { } , 1 }

Resposta: A afirmativa é falsa porque { } é um elemento do conjunto A = { { }, 1 } e, usamos o símbolo pertence ( ) para estudarmos a relação entre elementos e conjuntos.

(b) { { } , 1 }

Resposta: A afirmação é verdadeira, pois é um conjunto e, para todo conjunto A, temos que o conjunto vazio, , está contido em A, isto é, A.

6) (Cederj 2007/2 – AP01) – Verifique se cada uma das afirmações abaixo é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, prove, se for falsa justifique .

(a) { } { { } }

Resposta: Falso. { } é um elemento do conjunto { { } }, portanto { } { { } }.

12. Bibliografia

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2.php
http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos3.php
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_Elementar:_Conjuntos