Mauro Rincon e Márcia Fampa UFF/Cederj
Conteúdo:
1. O que é um Vetor?
1.1 Grandezas Físicas Escalares
1.2 Grandezas Físicas Vetoriais
1.3 Notação de Vetores
1.4 Módulo do Vetor
1.5 Vetor Nulo
1.6 Vetor Simétrico (ou oposto)
1.7 Vetor Unitário
1.8 Vetores Colineares
1.9 Vetores Coplanares
2. Operações com Vetores
2.1 Adição de vetores
2.1.1 Regra do Paralelograma
2.1.2 Propriedades da Adição
2.2 Multiplicação de um número real por um vetor
2.2.1 Propriedades da Multiplicação de um número real
3. Vetores no R2
3.1 Vetores representados por segmentos de retas
orientados com origem na origem do sistema
4.Igualdade e Operações
4.1 Igualdade
4.2 Operações
4.3 Definição
5. Vetores definido por dois pontos
6.Produto Escalar
6.1 Definição
6.2 Módulo de um vetor
6.3 Vetor unitário
6.4 Propriedades do Produto Escalar
7. Ângulo de dois vetores
7.1 Cáculo do Ângulo de dois Vetores
8.Paralelismo e Ortogonalidade de Dois Vetores
8.1 Vetores Paralelos
8.2 Vetores Ortogonais
9.Vetores no R3
9.1 Propriedades
10.Vetores no Rn
11.Bibliografia
1. O que é um Vetor?
Algumas grandezas como; massa e pressão são grandeza escalar, ou seja são números, outras grandezas como; força, velocidade, deslocamento e aceleração são denominada grandeza vetorial.
Grandeza que tem um tamanho ela precisa ter uma direção e precisa ter um sentido. Essas grandezas físicas que necessitam de ter direção, sentido são grandezas físicas que a gente denomina grandeza física vetoriais. Então ou simplesmente chamamos de vetor. Um vetor é um segmento de reta orientado que tem um sentido, direção e comprimento.
1.1 Grandezas Físicas Escalares
Massa
Pressão
1.2 Grandezas Físicas Vetoriais
Velocidade
Força
Deslocamento
1.3 Notação de Vetores: u, v, w, z.
v =
= 
A notação de vetores é o segmento de reta que estamos vendo AB, que a origem é em A e a extremidade em B. Agora todo os segmentos de retas orientadas que tem a mesma direção, o mesmo sentido e a mesma grandeza ou mesmo tamanho, tudo isso representa o mesmo vetor, como estamos vendo no paralelograma. O segmento de reta AB ou CD representam o mesmo vetor. Pode ver que eles estão paralelos, que ele estão no mesmo tamanho. Não faz diferença nenhuma do ponto de vista matemático o segmento AB ou CD.
Então quando a gente escreve o segmento de reta 
colocando uma seta em cima desse segmento de reta, esse segmento está representando um vetor e é uma grandeza diferente da grandeza escalar.
colocando uma seta em cima desse segmento de reta, esse segmento está representando um vetor e é uma grandeza diferente da grandeza escalar.1.4 Módulo do vetor
O comprimento ou módulo do vetor v é representado por ⎮v⎮.
1.5 Vetor Nulo
Vetor nulo simplesmente é um ponto no espaço, qualquer ponto do espaço é um vetor nulo.
1.6 Vetor Simétrico ou (oposto)
Vetor simétrico ou vetor oposto é o mesmo vetor só que ele tem o sentido oposto, quer dizer tem o mesmo comprimento, o mesmo tamanho só que tem o sentido oposto ao vetor.
1.7 Vetor Unitário
É aquele que tem o módulo do comprimento igual a um, ou seja | v | = 1.
1.8 Vetores Colineares
O que é colineares? colineares estão na mesma linha, na mesma reta. Então vetores colineares são vetores que podem ser coexistentes ou podem ser vetores que simplesmente podem ser paralelos. Não tem a necessidade de ter o mesmo tamanho ou mesmo sentido. Basta que tenham a mesma direção, que sejam paralelos ou sejam coexistentes.
1.9 Vetores Coplanares
Os vetores coplanares são aqueles vetores que estão no mesmo plano. Se temos dois vetores no mesmo plano dizemos, que eles são vetores coplanares, se temos um vetor saindo do plano dizemos que esse vetor já não é coplanar aos outros dois.
2. Operações com vetores
2.1 Adição de vetores
2.1.1 Regra do Paralelogramo
Uma forma prática de calcular a soma entre dois vetores é construindo um paralelogramo.
Note que u + v = v + u
2.1.2 Propriedades da Adição
a) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w)
b) Comutativa: u + v = v + u
c) Existe um único vetor nulo 0 tal que, para todo vetor v, se tem:
v + 0 = 0 + v = v
d) Para todo vetor v, existe um único vetor -v (vetor oposto de v) tal que:
v + (-v) = -v + v = 0
Observação: Diferença entre dois vetores: Dados dois vetores u e v então a diferença entre u e v é dado pela soma:
u + (-v).Por exemplo:
2.2 Multiplicação de um número real por um vetor
Dado um vetor v 
0 e um número real k, chama-se produto do número real k 0 pelo vetor v. O vetor u = kv, tal que:
a) Módulo:⎮v⎮= ⎮kv⎮ = ⎮k⎮.⎮v⎮
0 e um número real k, chama-se produto do número real k 0 pelo vetor v. O vetor u = kv, tal que:b) Direção: u e v tem a mesma direção.
c) Sentido: Se k > 0 então u e v tem o mesmo sentido.
Se k < style="text-align: justify;">
Observação:
Se k = 0 ou v = 0 então u = 0.
Se k = -1 então u = -v é o vetor simétrico.
Por exemplo:
2.2.1 Propriedades da Multiplicação de um número real
Sejam u e v dois vetores quaisquer e a e b números reais.
Então:
a) a (bu) = (ab)u b) (a + b)(u) = au + bu........(propriedade distributiva)
c) a(u + v) = au + av d) 1 (u) = u
3 Vetores no
Conjunto:
= 
. = {(x,y)⎮x,y 
}é interpretado geometricamente como sendo o plano cartexiano XOY.
Todo vetor
considerado neste plano tem sempre um representante, cuja origem é a origem do sistema.
Cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do segmento. Desta forma, o ponto P (x,y)
está associado ao vetor v = 
e escreve-se v = (x,y).
A origem do sistema O (0,0) é o vetor nulo. O vetor simétrico de v = (x,y) é o vetor - v = (-x, -y).
4. Igualdade e Operações
4.1 Igualdade
Dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2), são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2. Escreve-se u = v
Exemplos:
1) Os vetores u = (1,2) e v = (1,2) são iguais.
2) Sejam u = (x – 1,3) e v = (3, 2y -1). Determine x e y de tal forma que u = v.
Usando a definição:
x – 1 = 3
x = 43 = 2y – 1
y = 24.2 Operações
Sejam os vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) e
.Define-se:
a) u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
b)
u = (x1, y1) = (x1, y1)Exemplo: Sejam u = (1, -2) e v = (2,3).
Então:
5. Vetor definido por dois pontos
Consideremos o vetor
de origem no ponto A (x1, y1) e extremidade B(x2, y2).Então o vetor pode ser escrito na forma:
= 
- 
Logo:
= (x2, y2) - (x1, y1) = (x2 - x1 , y2 - y1 )
Por exemplo, se A(-1,2) e B(2,1), então:
= B – A = (2-(-1),1-2) = (3,-1)
6. Produto Escalar
6.1 Definição
Chama-se produto escalar de dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) e representa-se por u.v ou "
u.v = (x1, y1).(x2,y2) = (x1 x2 + y1 y2)
Por exemplo:
Seja u = (-1, 2) e v = (2,3).
Então:
u.v = (-1).2 + 2.3 = 4
6.2 Módulo de um vetor
O módulo de um vetor v = (x,y), representado por ⎮v⎮ é um número real não negativo,dado por:
⎮v⎮ =
Por exemplo:
Seja v = (2, -3), então
⎮v⎮ =
6.3 Vetor unitário
Quando ⎮v⎮ = 1, dizemos que o vetor é unitário.
Observações:
1) Para cada vetor v
Por exemplo, seja v = (2,-3) então ⎮v⎮ = ?. Logo:
u =
e ⎮v⎮ = 1
6 Produto Escalar
2) Dado um vetor AB? com extremidade nos pontos A (x1,y1) e B (x2, y2). O módulo do vetor AB? é dado por:
AB? = ??????
que é a distância entre os pontos A e B.
6.1 Propriedades do Produto Escalar
I) u.u > 0 para u ? 0 e u.u = 0 ? u = 0.
II) u.v = v.u (comutativa)
III) u.(v + w) = u.v + u.w (distributiva)
IV) ? (u.v) = (?u).v = u.(?v)
Observação:
Das propriedades (I) - (IV) obtemos que:
1) ⎮v + v⎮2 = ⎮v⎮2 + 2u.v + ⎮v⎮2
De fato:
⎮v + v⎮2 = (u + v).(u + v)
= u. (u + v) + v. (u + v)
= u.u + u.v + v.u + v.v
= ⎮v⎮2 + 2u.v + ⎮v⎮2
Mostre que, de forma análoga:
⎮v - v⎮2 = ⎮v⎮2 + 2u.v + ⎮v⎮2
7 Ângulo de dois vetores
O ângulo de dois vetores u = OA? v = OB?, não nulos, é o ângulo 0 formado pelas semi-retas O A e OB, onde O ? 0 ? ?.
fig?
7.1 Cálculo do Ângulo de dois Vetores
Sejam os vetores não nulos u e v. O ângulo 0 formado por u e v pode ser calculado pela fórmula:
fig?
fig?
De fato: Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC, temos:
⎮u - v⎮2 = ⎮u⎮2 + ⎮v⎮2 - 2⎮u⎮.⎮v⎮cos0... (1)
Mas sabemos que:
⎮u - v⎮2 = ⎮u⎮2 - 2⎮u⎮.⎮v⎮2 .............(2)
Comparando (1) e (2), obtemos:
⎮u⎮2 - 2⎮u⎮.⎮v⎮2 = ⎮u⎮2 + ⎮v⎮2 - 2⎮u⎮.⎮v⎮cos0
Logo:
u.v = ⎮u⎮.⎮v⎮.cos0
Daí:
?
Com o valor do cos0 calculando então o ângulo 0 pode ser determinado.
Note que 0 ? 0 ? ?.
Exemplo: Seja u = (2,2) e v = (0, -2).
fig?
Resolução do Exemplo:
fig??
Temos que:
⎮u⎮ = ????
⎮v⎮ = ???
Assim:
fig.?
Logo
fig?
8 Paralelismo e Ortogonalidade de Dois Vetores
8.1 Vetores Paralelos:
Dizemos que dois vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2) são paralelos (ou colineares), se existe um número real ? tal que:
u = ?v ? (x1, y1) = ? (x2, y2) = (?x2, ?y2)
Logo:
fig?
A relação (3) significa que dois vetores são paralelos se suas componentes são proporcionais.
Por exemplo, os vetores u = (-3,2) e v = (6,-4) são paralelos pois:
fig?
ou seja,
fig?
8.2 Vetores Ortogonais:
Dois vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2) são ortogonais (u ? v), se o ângulo 0 por eles formado é de 90?, ou seja, cos ? = 0. Da definição de ângulo temos:
fig.?
Assim, u ? v se u.v = 0. Também dizemos que dois vetores são ortogonais se pelo menos um deles é o vetor nulo. Portanto, u ? v ? u.v = 0.
Exemplo:
Os vetores u = (1,2) e v = (-2,1) são ortogonais. De fato:
u.v = (1,2).(-2,1) = 1.(-2) + 2.1 = 0
fig.?
9 Vetores no R3
O conjunto R3 = R X R X R = {(x,y,z)}⎮x,y,z ? R} é interpretado geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional OXYZ. Neste espaço, o ponto P (x,y, z) individualiza o vetor v = OP e escreve-se v = (x,y,z)
fig?
A origem do sistema O (0,0,0) representa o vetor nulo. O vetor simétrico de v = (x,y,z) é o vetor -v = (-x,-y,-z).
9.1 Propriedades:
1) Dois vetores u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.
2) Dados u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2) e ? ? ?. Então:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
?u = ? (x1,y1,z1) = (?x1,?y1,?z1)
3) Se A (x1,y1,z1) e B (x2,y2,z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então:
?? = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)
4) Produto escalar:
u.v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
5) Módulo do vetor v = (x,y,z) é dado por:
⎮v⎮ = ?????
6) Se u e v são vetores não-nulos e 0? é o ângulo
formado por eles, então:
cos ? = ???
7) Sejam u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2)
a) u ⎮⎮ v se, e somente se, ????
b) u ? v se, e somente se,
fig??
10 Vetores no RN
O conjunto
fig
Se u e v são vetores do RN , então eles são representados por: u = (x1,x2, ..., xn) e v = (y1, y2, ..., yn).
Seja ? ? ? então define-se:
a) u = v, se e somente se, xi = yi, para i = 1,2,...,n.
b) u + v = (x1 + y1, x2 + y2, ... , xn + yn).
c) ?u = (?x1, ?x2, ... , ?xn).
d) u.v = (x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn).
e) ⎮u⎮ = ??????
11.Bibliografia
Transparências da disciplina de Algebra Linear do curso de Tecnologia em Sistemas de Computação UFF/Cederj.
Livro sobre Algebra vetorial e Geometria analítica
http://www.geometriaanalitica.com.br/av/av.pdf
